1949 yılında Batman'ın Beşiri İlçesinde doğdu. İlkokulu ve Kur’an-ı Kerimi Beşiri' de okuyan KAVŞUT, Batman ve Diyarbakır yöresinde birkaç yıl Arapça tedrisatını görüp, icazet aldı. 01 Temmuz 1971'de Diyarbakır İmam Hatip Okulu birinci devresini, 16 Eylül 1974 tarihinde de ikinci devresini dışarıdan bitirdi. 1979'da Bursa Yüksek İslam Enstitüsünden "Hadis - Tefsir" bölümü birincisi olarak mezun oldu. 27 Mart 1969 - 28 Kasım 1970 tarihleri arasında askerlik hizmetini ifa etti.
21 Aralık 1971-07 Mayıs 1973 tarihleri arasında Adıyaman Kahta İlçesinde, 09 Mayıs 1973-05 Haziran 1977 tarihleri arasında Batman'ın Beşiri İlçesinde İmam- Hatip olarak görev yaptı.
07 Haziran 1977-17 Eylül 1979 tarihleri arasında Mardin İli Silopi İlçesinde Vaiz olarak, 20 Eylül 1979 - 14 Haziran 1982 tarihleri arası Siirt İli Şirvan İlçe Müftüsü, 17 Haziran 1982 - 21 Eylül 1985 tarihleri arası Diyarbakır İli Silvan İlçe Müftüsü, 21 Eylül 1985 - Temmuz 1990 tarihleri arasında Batman İlçe Müftüsü olarak görev ifa eden M. Cüneyt KAVŞUT, Batman’ın İl olması İle Temmuz 1990 - 1991 tarihine kadar Batman İl Müftüsü (Vekil) olarak görev yaparken, Tekirdağ Çorlu İlçe Müftülüğüne atanıp, 30 Eylül 1991 tarihinden 20 Nisan 1992 tarihine kadar bu görevini ifa etmiştir.
24 Nisan 1992-07 Aralık 1999 tarihleri arasında Batman, 13 Aralık 1999 24 Ekim 2003 tarihleri arası Nevşehir İl Müftüsü olarak görev yaptıktan sonra, 27 Ekim 2003 tarihinde Gümüşhane'deki İl Müftülüğü görevine başlamıştır.